1642—1643 թթ., առաջին արշավախմբի ժամանակ, առաջինը անցել է Ավստրալիայի հարավով, հայտնաբերել է Վան-Դիմենի երկրի հարավային և արևելյան ափերը (հետագայում իր անվամբ կոչվել է Թասմանիա), հասել է Նոր Զելանդիայի և Տոնգա արշիպելագի արևմտյան ափերին, Ֆիջի և Նոր Իսլանդիա կղզիներին։
1642 թ. արշավախմբի ժամանակ իր առջև նպատակ է դրել.
- ա) ուսումնասիրել Հնդկական օվկիանոսի այն մասեր, որոնք այդ ժամանակներում դուրս էին գտնվում առևտրական ճանապարհների շրջանակներից,
- բ) պարզել այն հարցը, թե Ավստրալիան արդյոք կազմում է «Հարավային մեծ երկրի մասը», ինչպես գտնում էին ժամանակակիցներից շատերը,
- գ) հետազոտել Նոր Գվինեայի ծովափը և պարզել՝ այն կղզի է, թե ոչ։
Աբել Թասմանը արշավի է դուրս գալիս Բատավիայից (Ջակարտա) և հաջողությամբ հասնում է Մավրիկա կղզի, իսկ այդտեղից նավարկում է հարավ, ապա ուղղությունը փոխում է դեպի հարավ-արևելք։ Առաջին կղզին, որ նա հանդիպել է դեպի արևելք նավարկելու ընթացքում, Հոլանդական Հնդկաստանի նահանգապետի անունով անվանել է Վանդիմենի երկիր (Թասմանիա)։
Վանդիմենի երկրից Թասմանը շարունակում է նավարկությունը դեպի արևելք և դեկտեմբերի 13-ին հասել է մի այլ երկիր՝ Նոր Զելանդիայի հարավային կղզին։ Շարունակել է նավարկությունը դեպի հյուսիս, մտել Նոր Զելանդիայի Հյուսիսային և Հարավային կղզիների միջև գտնվող նեղուցը, բայց չիմանալով, որ դա նեղուց է, հետ է վերադառնում։ Շարունակելով առաջ ընթանալ Հյուսիսային կղզու արևմտյան ափի երկայնքով՝ հասնում է կղզու ծայրակետը, ապա ուղղվում դեպի հյուսիս-արևելք։
Հունվարի 21-ին Թասմանի արշավախումբն հասնում է Տոնգա կղզիներ, որտեղից ուղղություն է վերցնում դեպի արևմուտք։ Անցնելով Ֆիջի կղզիների մոտով՝ հաջողությամբ հասնում է Նոր Իռլանդիա կամ Նոր Մեկլենբուրգ։ Սակայն սխալմամբ նա վերջինս համարում է ոչ թե կղզի, այլ Նոր Գվինեայի մի մասը։
Նոր Իռլանդիայից շարունակելով նավարկել դեպի արևմուտք՝ Նոր Գվինեայի հյուսիսային ափի երկայնքով անցնում է մինչև նրա արևմտյան ելուստը, ապա հաջող կերպով վերադառնում դեպի Բատավիա։